[2017년 운정고]

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[1학년 1학기 중간]

[eqn: a^3 =3]일 때, [eqn: (a-3)(a+3)(a^2 -3a +9)(a^3 +3a+9)]의 값은? [4.1점]

③

① [eqn: 729]	② [eqn: 720]	③ [eqn: -720]

④ [eqn: -729]	⑤ [eqn: -810]

[eqn: 200]개의 다항식 [eqn: x ^{2} +2x-1], [eqn: x^2 +2x-2], [eqn: x^2 +2x -3], [eqn: cdots],
[eqn: x^2 +2x-200]이 있다. 이 중에서 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: (x+a)(x-b)]로 인수분해 되는 다항식의 개수는? [4.1점]

②

① [eqn: 9]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 32]

두 이차다항식 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때,
[eqn: f(2)+g(2)]의 값은? [4.1점]

①

(가) [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 이차항의 계수는 모두 [eqn: 1]이다.

(나) [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 곱은 [eqn: x^4 -2x^3 -4x^2 +2x +3]이다.

(다) [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]를 동시에 나누어떨어지도록 하는
[eqn: x-a]는 존재하지 않는다. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 44]

[eqn: a>b>c ge 2]인 한 자릿수인 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=280]이 성립할 때, [eqn: 2a+b+c]의
값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: f(x)]가 다음 조건은 만족시킨다.

[eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -5x+6]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: 2Q(0) +R(1)]의 값은? [4.8점]

(가) [eqn: f(x^2 )]과 [eqn: x^3 f(x)]는 같은 차수의 다항식이다.

(나) 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) +f(3-x)=1]이다.

(다) [eqn: f(2) =1]이다.

②

① [eqn: -6]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: z]가 복소수일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [4.5점]

④

ㄱ. [eqn: z^2 +(barz })^2 =0]이면 [eqn: z]는 순허수이다.

ㄴ. [eqn: 1overz + 1over barz]은 항상 실수이다. (단, [eqn: z!=0])

ㄷ. [eqn: z^2]이 음의 실수이면 [eqn: 1over barz]은 순허수이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: ab !=0]인 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n) = left( {b+ai} over{a-bi} right)^n]
이고, [eqn: LEFT { f(1)+f(2) RIGHT } + LEFT { f(2)+f(3) RIGHT } +` CDOTS `+ LEFT { f(10)+f(11) RIGHT } =c+di]라
할 때, [eqn: 2(c+d)]의 값은? (단, [eqn: c], [eqn: d]는 실수이고, [eqn: i= sqrt { -1}]이다.) [4.5점]

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 삼차식 [eqn: f(x) =x^3 +ax^2 +bx +c]는 다음 조건을 만족시킨다.

이때, [eqn: a+f(2)]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt { -1}]이다.) [4.8점]

(가) [eqn: f(x)]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는 [eqn: 2]이다.

(나) 삼차방정식 [eqn: f(x)=0]의 한 근이 [eqn: 3-2i]이다.

⑤

① [eqn: -7]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -10]	⑤ [eqn: -11]

이차방정식 [eqn: x^2 -2x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때,
[eqn: (1+6alpha -3alpha ^2 )(alpha + bar alpha - alpha bar alpha + beta bar beta )]의 값은? (단, [eqn: bar z]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [4.4점]

③

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

이차함수 [eqn: y= -x^2 +2(a+k)x -k^2 +4k]의 그래프에서 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 접하는 직선의 방정식을 [eqn: y=b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4.1점]

④

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x) =x^2 -4x +3]의 그래프는 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만난다. 함수 [eqn: g(x) =2x^2 +2kx +k+3]의 그래프와 [eqn: x]축이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점이 모두 선분 [eqn: rmAB] 위에 있지 않도록 하는 양의 정수 [eqn: k]의 최솟값은? [4.1점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y=x^2 -6x+p]의 그래프와 [eqn: x]축의 교점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 하자. 이차함수 [eqn: y=x^2 -6x+p]의 그래프와 직선
[eqn: y=x+q]는 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC]에서 만난다. [eqn: bar {rmAB} =8]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 상수이다.) [4.5점]

⑤

① [eqn: 20]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 36]

다음 조건을 만족하는 정수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: mn]의 최솟값은? [4.6점]

①

(가) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -mx +2m-10=0]의
한 근은 [eqn: -1]보다 작고, 다른 한 근은 [eqn: 3]보다
크다.

(나) 함수 [eqn: f(x) = |x^2 -x-6 |]에 대하여 방정식
[eqn: f(x)-2x+n=0]이 서로 다른 네 개의 실근을
갖는다.

① [eqn: -12]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -4]

한 모서리의 길이가 [eqn: a]인 정육면체 모양의 나무 블록에서 한 변의 길이가 [eqn: a]인 정사각형을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 1over4]인 정사각뿔을 조각하여 파낸 후 그림과 같은 새로운 입체를 만들었다. 입체의 부피가 [eqn: 5over8left(a- 1over3 right)]과 같을 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a]는 유리수이다.) [4.3점]

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 1over2]

사차방정식 [eqn: x ^{4} -10x ^{2} +3a-5=0]의 서로 다른 두 양의 실근이 존재하기 위한 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.5점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

연립방정식 [eqn: {cases{3x+2y-5z=3#2x-6y+4z=9#5x-4y+kz=5}}]의 해가 존재하지 않을 때, 실수 [eqn: k]의 값은? [4.2점]

①

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

서술형

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1)^2]로 나눈 나머지는 [eqn: -2x+3]이고, [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는 [eqn: 5]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1)^2 (x-3)]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(x)]를 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: { 1} over {2 }x^2 -x+ { 7} over {2 }]

이차함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 세 점 [eqn: rmA(2,```3)], [eqn: rmB(-1,```3)],
[eqn: rmC(1,```-1)]를 지난다. 곡선 [eqn: y=f(x)] ([eqn: -1 le x le 4]) 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}(m,```n)]에 대하여 [eqn: m^2 -n]의 최댓값과 최솟값을 각각 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 2], [eqn: -7]

운정고등학교에 재학 중인 학생 [eqn: rmA]의 등굣길은 집에서부터 버스 정류장까지의 [eqn: 2rmkm] 구간과 버스 정류장에서 학교까지의 [eqn: 10rmkm] 구간으로 구성되어 있다. 집에서부터 학교까지 각 구간을 도보, 버스 순으로 이용할 경우 [eqn: 45]분이 걸리고, 자전거, 버스 순으로 이용할 경우 [eqn: 23]분이 걸리며, 도보, 자전거 순으로 이용할 경우 [eqn: 1]시간 [eqn: 10]분이 걸린다. 이때, 도보, 버스, 자전거의 속력을 각각 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, 도보, 버스, 자전거의 속력은 각각 일정하며, 환승 시 소요되는 시간은 고려하지 않는다.) [10.0점]

[eqn: 4], [eqn: 40], [eqn: 15]

[2017년 운정고]

[1학년 1학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com